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Letzte Änderung / Last update: 2025-Mär-19

Genauigkeit

Die Physik ist eine wundervolle Wissenschaft: handfest, alltagstauglich, oft anschaulich. Darüber hinaus kann man sie aber auch ins Extrem treiben und hochpräzise Auswertungen und auch Steueranweisungen errechnen.

Als Physiker lernt man, mit sehr verschiedenen Ansprüchen hinsichtlich der nötigen bzw. überhaupt möglichen Genauigkeit solcher Berechnungen umzugehen.

Grundsatz: Man kann nicht etwas genauer berechnen, als man vorher die zugrunde liegenden Messwerte ermitteln konnte.


Anekdoten zur Veranschaulichung

Als Diplomand und Doktorand an einem Physikinstitut wird man oft auch in der Lehre eingesetzt. Bei uns waren das sogenannte Physik-Praktika, die Studenten anderer Fachrichtungen, vom Maschinenbau über Elektrotechnik bis hin zur Pharmazie, bei uns meistens ein Semester lang ableisten mussten. Dabei mussten vorbereitete Versuche praktisch durchgeführt und rechnerisch ausgewertet werden. Als Physiker mussten wir die Studenten überwachen, dass nichts anbrannte, außerdem mussten wir sie in sogenannten Kolloquien, Mini-Prüfungen, zur Theorie dieser Versuche befragen.

Dazu muss ich ergänzen, dass dies bei mir in den Jahren geschah, als die elektronischen Taschenrechner bezahlbar wurden, zunächst nur für die Grundrechenarten, etwas später auch für wissenschaftliche Rechnungen wie Winkel- und Exponentialfunktionen, durch alle Zehnerpotenzen durch.

Und was bewirkte das? Die Studenten zeigten uns stolz ihre Ergebnisse, auf 12 oder sogar 13 Stellen "genau"! Und wir hatten dann die undankbare Aufgabe, diese Studenten zu enttäuschen und sie darauf hinzuweisen, dass die Eingangswerte ihrer Rechnungen doch nur auf zwei bis drei Stellen genau waren und dass daher auch ihre Endergebnisse nur höchstens auf soviele Stellen genau sein konnten.


Fehlerfortpflanzung

Mathematisch formuliert wird dieser Zusammenhang im [WP Fehlerfortpflanzung]sgesetz. Das sieht furchtbar kompliziert aus, kaum ein Mensch rechnet das zusätzlich zu seinen Messungs-Auswertungen auch noch nach. Physik ist eben auch eine sehr praktische, alltagsnahe Wissenschaft, und daher geht ein Physiker im Normalfall ganz pragmatisch so vor, dass er unter seinen eingehenden Messwerten das sozusagen "schwächste Glied" heraussucht und dessen (Un-)Genauigkeit auf sein Endergebnis überträgt.


Geltende Ziffern

Dieser pragmatische Ansatz lässt sich einfach umsetzen, indem man statt von Genauigkeit von der Anzahl "geltender Ziffern" spricht. Und um gleich einen anderen beliebten Fehler zu vermeiden: Es geht hierbei NICHT um die "Anzahl von Stellen hinter dem Komma", sondern um die Anzahl der geltenden Ziffern, angefangen bei der ersten Ziffer ungleich Null innerhalb einer Zahlendarstellung, gezählt bis zu deren Ende. Wenn wir also einen Wert von 0,00328 ermittelt haben, reicht der zwar bis zu fünf Stellen hinter dem Komma, weist aber lediglich drei geltende Ziffern auf, die 3 und als letzte angegebene Stelle die 8.

Wenn man dies alles korrekt berücksichtigt, kann man drei verschiedene Situationen unterscheiden:


A) Naturkonstanten

Wenn man als Physiker dabei ist, Naturkonstanten wie die Gravitationskonstante, die Lichtgeschwindigkeit, die Größe der elektrischen Elementarladung oder andere echte Konstanten mit immer höherer Präzision zu vermessen, dann muss man penibel jede Größe mit Einfluss auf das Endergebnis mit möglichst noch höherer Genauigkeit bestimmen, damit keine davon am Ende die Gesamtgenauigkeit verdirbt. Hier sprechen wir tatsächlich von Genauigkeiten von mehr als 10 geltenden Ziffern. Und bei diesen Auswertungen wird man auch die oben erwähnte Fehlerfortpflanzung ernst nehmen und berücksichtigen.


B) Allgemeine Messungen

Hier geht es um das Alltagsgeschäft der Physik, irgendwelche Effekte in ihren numerischen Auswirkungen auf andere Eigenschaften zu untersuchen. Hier gilt wieder, dass man sehr genau und möglichst komplett alle Einflüsse auf das Endergebnis berücksichtigt, ihre jeweiligen Genauigkeiten abschätzt und damit die Genauigkeit jenes Endergebnisses ermittelt. Wenn man das in eine Messkurve einträgt, kann man so einen konkreten [WP Fehlerbalken] eintragen, so dass der Betrachter einen leicht nachvollziehbaren Eindruck von der erreichten Genauigkeit erhält.


C) Über den Daumen

Das Schöne am Pragmatismus in der Physik ist, dass man oft gar nicht so sehr auf die Genauigkeit angewiesen ist. Wenn man nämlich prinzipielle Zusammenhänge darstellen will, dann reichen schon mal Angaben mit lediglich zwei oder drei geltenden Ziffern, um das Ziel zu erreichen.

Wieder einmal eine Anekdote aus meiner Studienzeit: Das war noch in der Zeit kurz vor den elektronischen Taschenrechnern. Der [WP Rechenschieber] war das Standardwerkzeug. Als Student gab man richtig Geld aus, um Profi-Versionen davon anzuschaffen. Es gab aber auch kleinere, kürzere Kompaktversionen, die in Jackett-Taschen passten. Unser Physik-Professor in den Einführungsvorlesungen liebte es, uns den Umgang damit zu demonstrieren. Wenn es beispielsweise um die Erdbeschleunigung geht, hängt die ja von so unterschiedlichen Werten wie der Masse der Erde, ihrem Radius und der Gravitationskonstante ab, alle mit ihren Zehnerpotenzen. Letztere musste man zu Zeiten des Rechenschiebers noch von Hand bzw. im Kopf berechnen. Das waren aber nur ein paar Additionen und Subtraktionen in den Zehnerexponenten und ging entsprechend schnell und transparent. Die Mantissen der Eingangsgrößen blieben stehen. Dafür holte der Professor dann seinen kleinen Rechenschieber aus der Jacketttasche und rechnete die kurz nach, wieder ganz transparent und nachvollziehbar. Am Ende hatte er dann einen Zahlenwert für die Erdbeschleunigung, der sich – halt auf drei geltende Ziffern – mit dem bekannten Wert deckte.

Was man bei solchen Rechnungen "über den Daumen" auch noch beachten und ausnutzen kann, ist die Rundung. Wenn einzelne Eingangswerte sowieso nur mäßig genau ermittelbar sind, hat es wenig Sinn, andere mit Aufwand mit viel höherer Genauigkeit mitzuschleppen. Dann rundet man solche Werte schon beim Anfang der Rechnung. Und mit längerer Praxis entwickelt man ein immer besseres Gefühl dafür, dass man mal ab- und mal aufrundet, so dass sich das im Endeffekt ungefähr ausgleicht.

Das angewendet können Sie detailliert in einem meiner anderen Texte studieren, nämlich in Große Zahlen. Dort gehe ich mit den Zahlenwerten ziemlich "großzügig" um, damit man das Prinzip leichter erkennt. Dass die wahren Zahlen diverse Prozente anders ausfallen, spielt hier eben keine Rolle. Hauptsache, die Umrechnungen, die ich dort anstelle, sind einigermaßen nachvollziehbar. Das ist dabei viel wichtiger als numerische Genauigkeit.

Aber mit dieser Großzügigket darf man es natürlich auch nicht übertreiben. Wenn ein Autor in einer Veröffentlichung die Formulierung benutzt, dass ein Ergebnis "innerhalb einer Größenordnung korrekt" herausgekommen sei und wenn man weiß, dass eine "Größenordnung" in diesem Zusammenhang soviel wie "einen Faktor 10" bedeutet, dann heißt das für einen Insider nichts anderes als "falsch"...


Pragmatische Physik

Es wird dem Leser vielleicht deutlich, was ich an meiner althergebrachten Wissenschaft Physik so schätze: Dass man in allen Lebenslagen etwas mit ihr anfangen kann, dass sie flexibel verschiedenen Anforderungen gerecht wird und dass sie dabei handfest und anschaulich bleibt. – Ok, dann kommt allerdings auch noch die Quantentheorie, von wegen anschaulich und handlich. Oder diese obskuren Lücken im Astronomie-Verständnis, siehe Dunkle Energie oder Dunkle Materie. Also ist die Physik wie alles im richtigen Leben: Irgendwo hakt es halt doch immer.



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